यदि int_0^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + c | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx$.फलन का सरलीकरण करने पर: $\frac{\cot x}{\cot x + \csc x} = \frac{\frac{\cos x}{

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$-1$

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(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx$.फलन का सरलीकरण करने पर: $\frac{\cot x}{\cot x + \csc x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x + 1}$.सर्वसमिका $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\cos x}{\cos x + 1} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = 1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.अब समाकलन करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}) dx$.$I = [x - 	an \frac{x}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}$.सीमाओं का मान रखने पर: $I = (\frac{\pi}{2} - 	an \frac{\pi}{4}) - (0 - 	an 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.इसे $I = \frac{1}{2}(\pi - 2) = \frac{1}{2}(\pi + (-2))$ के रूप में लिखा जा सकता है।$m(\pi + n)$ से तुलना करने पर,$m = \frac{1}{2}$ और $n = -2$ प्राप्त होता है।अतः,$m \cdot n = \frac{1}{2} 	imes (-2) = -1$.

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx = m(\pi + n)$ है,तो $m \cdot n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{0}^{k} \frac{dx}{2 + 18x^2} = \frac{\pi}{24}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. समाकल $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ पर विचार करें। तब,$\lim_{n \to \infty} I_n$ है:

$\int_0^1 {{\tan ^{ - 1}}x\,dx = } $

$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{\frac{\pi }{12}}^{\frac{\pi }{4}} \frac{8 \cos 2x}{(\tan x + \cot x)^3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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